ダイヤグラムの活用。

今年の入試問題も出そろいました。
どの学校も傾向がはっきりしてきているようです。

そして速さの問題も花盛りです。

私は5年生から、速さの問題ではダイヤグラムを使わせます。
とても分かりやすいからです。
書くのもすぐに慣れます。
6年で速さの面倒くさい問題に出会うと、まずダイヤグラムを書かせます。

今年の問題では次のようなものがありました。

浦和明の星女子中学校2017年入試問題・算数4番

これはダイヤグラムを書き慣れた子なら、すぐに概要をつかみます。
そして、つるかめ算だと見抜き、場合によっては面積図を使って解くと思います。
このような視覚化は、単に理解を早めるだけではなく、時間の節約にもなります。
考え方を説明しなさいという学校もありますが、的確な図が書いてあればそれで充分だと、中学校の先生からもお聞きしたことがあります。

速さの勉強では、単位換算の正確さと共に、ダイヤグラムやグラフに慣れるということが大きなポイントになります。

算数の指導で大切なこと

夏期講習もピークを迎えつつあります。
私の授業でも、各塾の夏期講習テキストからの質問が多いです。

塾では質問する時間もあるようなのですが、混んでいたり、説明されても理解できなかったりで分からないまま持ち帰ることもあるようです。
その時は、まず、塾から配られている解説を読んで考えなさいとアドバイスしています。
その方が効率よく進められるからです。
でも、正直、解説を読むだけでは本当にその問題の本質をつかめるか心配なこともあります。
なぜなら、塾から配られる解説は一つの解き方しか載っていなかったり、とても簡略だったりで、読んだだけではなかなか理解しづらいものだからです。
また、考え方は載っていても、その為に、具体的にどのような作業をしていけば良いかが分からないものもあります。

このことを踏まえ、私がどのように算数を指導しているかを書いてみようと思います。

例えば、私が受けた最近の質問の一つが次のような問題でした。

【問題】AからBまで連続する整数をすべてかけたとき、一の位から順に見て最初に現れる0以外の数字を(A,B)でかくことにします。
たとえば、1×2×3×4×5=120なので、(1,5)=2です。

(1)(1,10)を求めなさい。

(2)(121,130)を求めなさい。

この問題への、塾から配られた解答の解説は次のようになっていました。

『(1)への解説
(1×2×3×・・・×10)÷10÷10=1×3×4×6×7×8×9より8です。』

なぜ10で2回割るのでしょうか。
分かりにくいですね。

私は次のように説明しました。

(1,10)を計算した0の個数は、その積が10で何回割れるか、つまり、1から10までの数を掛け合わせたときに何個の10ができるかで求められる。
それを調べる為には、1から10の各数を素因数分解すればよい。
(素因数分解については既に指導済みです)
すだれ算のやり方で、各数を下向きに割っていくやり方を指導しました。
ここではその表記がしづらいので、簡易的に式で表します。

 1× 2× 3× × 5× × 7× × × 10
=1× 2× 3× 2×2× 5× 2×3× 7× 2×2×2× 3×3× 2×5

ここで、10=2×5ですから、これらの素因数の中から、2と5のペアが何組できるかを数えます。
下のようになります。
(緑が2・赤が5です。)
(連続する整数を素因数分解していくと、5の因数の方が少ないので、5の個数を先に数え、それと同じだけの2を消すと考えていきます。)

=1× × 3× ×2× × 2×3× 7× 2×2×2× 3×3× 2×

10が2組できました。
ですから、塾の解説では10で2回割っていたのです。

ここでは上の式から、2個ずつの2と5を取り除いて、残りをもとの数にもどしていきます。

=1× 3× 2× 6× 7× 8× 9× 2

これを計算した結果の1の位だけが知りたいのですから、順に1の位だけを掛けていけばいいですね。

=1× 3× 2× 6× 7× 8× 9× 2
   3  6  6  2  6  4  

答え 

(2)についても全く同じ手順です。
121から130までの数を順に書き出して、各数を、すだれ算のように素因数分解していきます。
そして、5が何個できたかを数えながら消し、それと同じ個数だけの2も消します。
各数の下に、残った因数だけからできる数字を書きます。
たとえば、122からは2が1個消えますから、61になります。
124からは2が2個消えますから、31になります。

そして、下に書き出された数の、1の位だけを順に掛けていけば良いのです。
細かい手順は省略しますが、やり方、考え方は(1)と全く同じです。

ここで一番大切なことは、具体的にどのように答案を書いていくかを理解させることです。
その為には、一つ一つの作業がどういう意味を持っているのかを知る必要があります。
これがまさに算数学習の一番のポイントだと思います。

この生徒の指導の時は、(1)を説明したあとに、(2)を一人でやらせました。
解きながら、詰まったところで質問してくれるので、そこで(1)とのつながりを説明しました。

このように考えていくと、塾からの解説の意味も理解できると思います。
参考に、(2)についての塾の解説も載せておきます。

『(2)への解説
10で4回割り切ることができて、その商は
たとえば
121×61×123×31×63×127×128×129×26
と表すことができます。これより、です。』

著作権のこともあると思いますので、どこの塾のテキストからのものかを最後に記しておきます。
サピックス「Summer Support」N61E-10 大問3(一部省略)です。


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算数が得意な子とそうでない子の違い

これは意外と簡単なことです。
楽に解こうとするかどうかなのです。

一例を挙げます。

【問題】次の計算をしなさい。
11×13×17-2×3×5×7×11

この問題をどう解くかで、その子の算数に対する気持ちが分かります。

あんまり考えないで答えだけ出そうとする子は頭から順に計算していきます。

11×13×17
=143×17
=2431

2×3×5×7×11
=6×5×7×11
=30×7×11
=210×11
=2310

2431-2310
=121

これはこれで間違えなく全ての手順をこなせれば、算数の力は相当なものと言えると思います。
でも、まだあまり算数が得意でない子はこの手順自体を面倒くさいと感じ、算数は大変な科目だと思ってしまうでしょう。


算数が得意で、ある程度の知識が身についている子は次のような解き方をします。

11×(13×17-2×3×5×7)
=11×(221-2×5×3×7)
=11×(221-10×21)
=11×(221-210)
=11×11
=121

このやり方だと、筆算が必要なのは、13×17と11×11の2回だけです。

つまり、算数が得意になっている子は、分配法則とか交換法則とかの言葉や考え方を知識として学ぶのではなく、手順や技術として身に付けるということです。

そういう風に学べる環境にあったのか、そう考える素養があるのか、それは一人一人違うのかもしれませんが、こうした違いが得意不得意を分けるのではないかと思います。

分配法則は円周率(3.14)の計算でよく使われますから、そこでは使えるのに、上のような問題では使おうとしなかったり、使えると気づかなかったりする子が案外多いように感じます。
交換法則についても、単元の一つとして出てくる時は使えるけれど、計算問題や文章題の計算の途中では使えない子も多いです。
こうした知識は、計算を楽にする工夫なのだと感じられれば、多分、生きた知識として身に付けられると思います。

解説

6年生は過去問演習に余念がありません。
質問の連続です。

そこで、効率よく授業を進めるために、「丸付けが終わったら、直しの時は解説をしっかりと読んで考えなさい」と話しています。
読んでもよく分からないもの、もっと違う解き方が知りたいと思ったものをピックアップして、それを次の私との授業で質問してもらうということです。

でも、時々困ったなと思うこともあります。
解説の解き方があまりうまくない時です。

たとえば、中学入試の過去問集といえば定番中の定番、声の教育社さんのものでも、中堅校の解説では、首を傾げてしまうようなものを偶に見掛けます。
生徒から質問され、「解説のどこが分からなかった?」と言って、それを見せてもらうと、「あれあれ、確かにこれを読んだら一層混乱するだろうな」というものがありました。
上位校の解説はベテランの方がお書きになっているのか、よくできたものだと思いますが、中堅校の場合、難度の高い問題も含まれるのに、執筆は不慣れな方が担当されることもあるのか、あれあれと思ってしまう解説があるのです。

また、数学の発想に慣れてしまった方の解説にも分かりにくいものがあります。
例えば次の例を参照してください。
四谷大塚講習会テストの解説

算数は数学の初歩段階であるとも言えるのですが、算数ならでは発想を利用できる領域も広いです。
子どもの発想力を試す場でもあるからでしょう。

ただし、読んで考えるというのはとても大事な学習プロセスだと思います。
だから、解説を熟読するということは、とても大切にして欲しいと思います。
でも、それを踏み台にして、更に深く考えてみるというのはもっと大切なことかもしれません。

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ベン図について。

今日は、ベン図を考案した、イギリスの論理学者、ジョン・ベンの生誕180周年だそうです。
私は、授業では、この図を使うときは、「便利な図だからベン図というんだよ、あ、これは冗談ね」と言ったりします。
ベンという学者が作ったということは話しますが、180年も前に生まれた人とは知りませんでした。グーグルのトップ画面で知りました。
でも、このベン図、要素が3つの時は必須ですが、2つのときは、線分図の方が便利です。
しかも、1本の線の中に色々な要素を書き込むのではなく、要素毎に線を変えた方が良いです。
なかなかそういう解説の載った参考書は無いですね。紙面のスペースの関係もあるのか、1本の線の中に全ての要素が書き込まれている図が多いです。あれだと理解しにくいと思います。

余談ですが、ジョン・ベンの本来のつづりを見たら、John Vennなんですね。
だから、正しくはヴェン図と言うべきでしょうか。
いや、やはり、便利な図だからベン図ということで行きましょう。

場合の数の基本。

先週のサピックス小6・四谷大塚の小5は「場合の数」でした。
女子は苦手な子が多いようです。
サピックスや四谷に通う複数の女子を指導していますが、みな苦戦していました。

そこで、次のような基本事項を最初に説明していきました。
そうしたら、塾でやっていた時より解きやすくなったようです。

一番の基礎となるのは、順列と組み合わせの違いを覚えるということです。

20人の中から、リレー選手4人を決めるのが順列です。
Aさんが1番に走るか、2番に走るかが区別されます。
だから、A・B・C・Dの4人が選手となった場合でも、その順序が異なると別の場合と考えますから、4×3×2×1=24で、この4人だけの場合でも24通りになります。
最初の4は、1番目に走る人は4人の中の誰かだから4通りということです。
次の3は2番目に走る人は、残り3人の中の誰かだから3通りということです。
この考え方でいけば、20人から4人のリレー選手を決める決め方は次の式で求められると分かります。
20×19×18×17=116280通り。
20は1番に走る人は20人の中の誰かだから20通りということです。
次の19は、2番に走る人は、残り19人の中の誰かだから19通りということです。
以下同様です。

これに対して、20人の中から、掃除当番4人を決めるのが組み合わせです。
同じ4人なら、掃除当番に順序は関係ないから区別する必要がないのです。
つまり、順列で考えた116280通りのうち、24通りずつ、同じメンバーのものが入っているから、それを24で割れば良いということです。
まとめると、20人から4人の掃除当番を決める決め方は次の式で求められることになります。
(20×19×18×17)÷(4×3×2×1)=4845通りとなります。

もう一つ覚えて欲しいことがあります。
同時に起こる場合は掛けて、別々に起こる場合は足すということです。

以上の2つのことをベースにして、後は問題によって、様々なアレンジを加えていけば良いのです。

事務的なことで、最近教え始めた子の保護者の方からメールを頂きました。
そのメールの文中に、次の1節がありました。
とても嬉しかったです。

【引用開始】
娘は場合の数が特に苦手で、先週のS(通っている塾)の授業後
宿題がなかなか進まなかったのですが、昨日の久保田先生の授業でしっかり
理解できたようで、帰宅後の復習をし、朝学では「簡単にできた!」と
喜んでいました。
【引用終了】

とても真面目なお子さんですが、これまで、塾の授業だけではどうしても理解もれが出てきてしまい、苦しんでいたようです。
朝にも学習しているんですね。 
脱線しますが、こういう子にきちんと力添えが出来るのが完全個別指導の良いところだと思います。

場合の数に限らず、算数の学習で大事なことは、なるべく大きく、くくれるような考え方を身に付けていくということです。

実感しながら解くことが大事です。

新小6の方からのご相談が増える時期です。
体験授業をしてみて、塾によって教え方も随分と違うのだなと感じます。
1年以上有名塾に通ってきて、算数が分からないままというお子さんもかなりいるようです。
例えば、流水算が苦手ですという子がいました。
どう習ったのか聞いてみたら、式ばかりで説明されたと言うのです。
流水算については次の2点がまず大事なポイントです。
(1)静水上での流れと川を上ったり下ったりするときの流れとの関係を理解すること。
(2)それを速さの線分図に表してみること。
こうしたことを身に付けるには、やはり実感するということが大事です。
その為には、図や絵を活用しましょう。
流水算が苦手な子には次のような図の書き方を覚えてもらいながら説明していきます。
説明と、図の書き方を一緒に教え、それを考えながらノートしてもらいます。
すると「ああ、そういうことだったのか」という反応とともに笑みがもれます。
最近の授業で書いた絵と図を参考の為にアップします。
流水算が苦手というお子さんには是非この図を参考にしてもらいたいです。
流水算の図

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図形問題への対策。

平面図形が苦手という子も結構いる。
女子に多いように感じる。
女子校でも平面図形はよく出されるので対策は必要だ。

大手塾に通いながら、過去問演習のチェックだけこちらに来る生徒がいる。
共学校と女子校を志望し、その対策をしているが、どちらも図形問題が毎年出題されている。

そこで感じるのは、実際の作業過程が充分に指導されていないということだ。
集団授業だと、一人一人の解き方までを細かくチェックはできないから仕方ないのかもしれないが、授業解説の中で、具体的なノートのまとめ方にも触れて欲しいと思う。

特に複合図形での比を活用する面積の問題を苦手とする子が多い。
一番の難点は、条件がゴチャゴチャになってしまうことだろう。
そこで、生徒に言うのは、必要な部分だけを抜き出してみようということだ。
先日の授業での作図の一部を下に載せるので参考にして欲しい。

ZukeiKakikata

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先生ごとの力量。

今年も複数名の5年生を指導しているが、同じ問題の解き方も教室により様々だ。
いや、教室毎というより、先生毎なのかもしれない。

私自身も数々の塾で講師をしてきたが、統一した解法の指導はなかった。
各先生が、自分が最良と思う解き方を生徒に指導していた。
今もその現状は変わらないようだ。

一つ例をあげよう。
サピックスは今週は「場合の数」だが、ひたすら樹形図だけで説明された生徒もいれば
順列の考え方を説明され、式による解法で説明された生徒もいた。

どちらが良い解き方か。
それは問題にもよると言えるが、難関校を目指す子どもは両方知っている必要はあると思う。
子の力量は、様々な解法を知った上で、どういう場合にはどの解法を使うかが判断できるかだと思う。

ところで、算数が苦手な子には樹形図で書き出し、得意な子には式での解法というふうに思う保護者の方がいらっしゃるようだが、
いや、塾の先生方にもそう思っている方もいるようだが、
私は、式が使える場合は式で解くように指導している。
算数が苦手な子は、解く作業が面倒くさいからイヤだと言う子もいる。
そういう子は、式でスパッと解けるのが快感と感じるようで、考え方さえきちんと理解させれば樹形図より式での解き方を喜ぶ。
樹形図と式の解法とのつながりを説明すると、式の根拠もつかめるようだ。
何より、場合の数の式は、難しい計算が出てこないのが良い。
整数のかけ算や足し算、場合によっては引き算やわり算も出てくるが、何れも整数で処理できる。

先生からどう習うかで、その単元の得意、不得意が決まってしまうのかもしれない。
同じサピックスの生徒でも先生により説明が異なっていた。
どの塾が良いとかの問題ではなく、やはり先生毎の力量によると言うしかないのだろう。

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算数のノートのまとめ方の一例。

ノートに解法をまとめるとき、ブロック分けを使うと見やすくなる。
文と式とのつながりもはっきりしてくる。

次のような問題を例に、解き方のまとめ方を載せるので参考にして欲しい。

【問題】あつ子さんと太郎君が同じ地点に立っていました。二人がじゃんけんをして、勝つと東へ25cm、負けると西へ15cm移動するという決まりでじゃんけんをしました。13回じゃんけんをした結果、あつ子さんは太郎君より120cm東に立っていました。このとき、あつ子さんは何回勝ったでしょうか。あいこはありませんでした。

noteExample

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プロフィール

久保田塾・塾長

Author:久保田塾・塾長
東京都内、自宅にて個別指導、都内近県にて家庭教師をしています。
受験対策でも不登校児へのフォロー指導でも、私を頼る者全ての力になりたいと思っています。
でも、出来ない事は出来ないので、その時は、よりふさわしい先生をご紹介したり、次善の策がないかを模索したりします。
一番得意なのは中学受験の算数指導。「どんな問題でも解ける」という事より、「志望校に合格するにはどういう力を付ければ良いかを伝える」のが大事なのです。そのことを分かっていない保護者の方々、現役の塾講師、家庭教師の先生方があまりにも多い。
教育ネタが中心になると思いますが、趣味に走ったりもするかも。
前から興味のあったブログというのを始めて、ちょっとワクワクの「え~年のおっさん」です。
(2008年2月2日(先勝)・ブログ開始)

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