部分分数分解。

私立に通う中3生から、学校のプリントで分からない問題があると質問された。
分数式の問題なので、便宜的に{a/b}と分数を表す。
{b/a(a+b)}+{c/(a+b)(a+b+c)}+{d/(a+b+c)(a+b+c+d)}+{e/(a+b+c+d)(a+b+c+d+e)}
を計算しなさいという問題だ。
これは数Ⅱの範囲だと思うが、学校の先生は途中まで解いてくれて、続きをやってくるように言ったとのこと。
学校の先生が示してくれたヒントがノートに書いてあったが、式全体を変形したものだったので、生徒には何がどうなったのかがつかめなかったようだ。
そこで次のような変形だけをまず示した。
{1/a}-{1/a+b}={a+b/a(a+b)}-{a/a(a+b)}={a+b-a/a(a+b)}={a/a(a+b)}
「通分して引き算しただけ」と話したらすぐに納得。
「でも、こんなこと思いつかない。」と一言。
確かに、いきなり思いつくのは無理だろう。習っているからできる、本当にその通り。
で、ここで習ったから覚えてねと言って、次の項を変形させた。
しかしキョトンとしている。そこで次のヒントだ。
「最初に与えたヒントの式の
aを(a+b)に、bをcに替えてみたらどうなる?」とヒントを出した。
やっと得心がいったようで、その後はスイスイと解いていた。
長い式を一編に変形するのでなく、一項ずつ変形させて、その共通性に気付かせた。
もちろん、変形が済んだ後は一つにまとめさせた。そうしないとこの問題の意味がない。

「でも、こんなこといきなり説明されてもすぐには分かる訳ないよ」との感想が聞こえそうだが、
中学入試を経験していると、これと同じ問題を実数で解いている。
受験算数用の参考書では、計算の工夫という項目で触れられている。
「特進クラスの算数」(文英堂)ではP.35の応用例題16。
「応用自在」(学研)ではP.28の例題3。
「自由自在」(受験研究社)ではP.86の例題6。
「受験全解」(みくに出版)ではP.32の例題1(5)。

今日話題にした生徒は、小学校からの内進生なので、小学生の時にこうした問題は解いてないと思う。
と言って、今度の説明は理解できたのだから、解いていなくても大きな問題はないと思うが、
中学受験でこの問題をきちんと知識に定着させていた子にとっては、
「何だ、あれだ」という感想になったのではなかろうか。
この差を大きいと感じるか、大したことないと感じるか。

私は昔は大きいと感じていたが、最近は大したことないと思うようになってきた。


テーマ : 中学受験
ジャンル : 学校・教育

四谷大塚と面積図。

四谷大塚に通っている生徒のフォローをしている。
今週(シリーズ6上・4回)は濃度の問題を解いているが、少なくとも今のところは面積図は習っていないとのこと。
ちょっと驚き。
濃度の本質、水と食塩とが混ざってできていて、その全体量のうちの食塩の割合が濃度だということ、
これをきっちり教えるのは重要だが
そのレベルに止まって各問題を解かせるのはちょっと酷ではないか?
本質から水と食塩とが入ったビーカーの絵を描き
その内の□%が食塩というイメージを描き
2種類の濃度を混ぜる問題(例題2(1)など)を使いながら、
実は水の部分は解くのにあまり関与していないことを説明し
だったら、食塩の部分だけを描けば良いよねと発展させて
なんだ、結局、面積図になってしまうじゃん
と言ったストーリーを伝えるべきだと思う。
やり取りの繰り返し(例題3)など、まずチャートを描いてみた方が良い問題もあるが
ほとんどの問題は面積図一発で解けてしまう。
あくまで前提としての本質を理解させての話だが、
本質と一緒に面積図の説明まで持っていった方が、
ほとんどの子供にとっては理解が楽だと思う。
すぐ実践的に使えるし。

面積図に慣れると逆比が活用できる。
昨日は6年生が二人だったが、二人とも逆比までしっかり理解できた。
(一人はどうしても安易に求積して解こうとしていたが、練習の為にあえて逆比を使って解き直させた。)
そして、面積図で逆比を活用するという、この手法をマスターすると
今回の後半の単元である
水量変化の問題なども同じように解けるようになる。
こうしたことを知ったときの子供の嬉しそうな顔。
まさにシナプスがバチバチ音を立てている瞬間だと思う。

テーマ : 中学受験
ジャンル : 学校・教育

個別指導の醍醐味(その2)

今日も2:1授業は活気があった。
良い意味でのライバル心がヒシヒシと伝わってくる。
だが、二人とも自分のペースはきちんと維持する。

(ここまで読んで、何を言ってるのか分からない人は
2008年2月4日の記事を読んで欲しい。)

基本問題1番は、()毎に解説したり、いきなり解かせたり。
例えば(1)は詳細に解説したが、(3)は初めから挑戦させた。
だが、同じ意図の問題だとは、残念ながら、二人ともすぐには気付かなかった。
二人とも考えあぐねているのを見て透かさず「相似はどれ?」と問いかける。

こう投げかけると二人ともすぐみつける。
『だったら、早くそれを利用しろよ。』と心の中で「突っ込み」を入れる。
見つかって、そこからどうする?
二人が競って答えようとする姿がいじらしい。
一人が答えると「では、次に何をしたらよい?」ともう一人に必ず問いかける。
詰まると、もう一人に振る。
二人とも沈黙だと、私のチョイヒントが出る。

一人のお母様は必ずメモをくださる。
今日のそのメモに
「2:1授業で、同学年のお子さんと一緒になったと言って喜んでいました。」
との一節があった。

もう一人の生徒も、より素早く考えようという姿勢が強まったように感じる。

二人の思考の様子が手に取るように分かる。
これが個別指導の醍醐味だ。
私は、2:1が限度だと思う。
3:1だと大抵、二人と一人に別れてしまう。
それに3人の思考過程を細かく追える程の力はもう今の私にはない。
昔は50人いても、一人一人の様子がつかめていた(と今でも思っている)。

それにしても、全く違う学習法を選んだこの二人が
よく同じ日の同じ時間に通えるようになったもんだ。

来週は、この二人と、一体どこまで行けるやら。

テーマ : 中学受験
ジャンル : 学校・教育

私の小学生時代の話。

私の小1から小4までの担任は関根軍三(せきねぐんぞう)先生だった。
小1の担任になった時点で相当なお年だったように思うが、
いつも笑顔の絶えない、心温まる先生だった。
注意された記憶はあるが、怒られた記憶はない。
何名かずつ順番に生徒を経堂の自宅まで呼んでくれ、草餅などご馳走してくれた。
今の小学校にはこうした交流は望めないだろう。
私的交流全般が禁止されているのかもしれない。

私は関根先生に、本を読むことの楽しさを教わった。
文字を書くことの快感を教わった。

小5小6の担任は渡辺三義(わたなべみつよし)先生だった。
国語が得意の先生で、自分の教え子が私立中学を受験することに一種の誇りを持っていた。
だから私は、特別な塾通いをせずに中学受験が出来た。
算数の時間には、私立を受験する子を念頭に、相当難しい問題を出したりもしてくれた。
私は食塩水の濃度の問題で、黒板いっぱいに式を書き、やっと正解に至った記憶がある。
(当時は面積図やチャートといった解法ツールはなかった。)

2月1日に受験し、2日は小学校に行った。
(当時はのどかで、第一志望だけの受験というのがまかり通っていた。)
すると先生は、休み時間だったか放課後だったか
先生の教卓の脇に一人私を呼び、昨日受けてきたばかりの入試問題を取り出し、
(もちろん国語だけ)
記述など重い問題につき、一問一問「これは何て書いた?」「ここはどう答えた?」と聞いてくれた。
びっくりした。
まさか、学校の先生からそんなチェックをされるとは。
でも、嬉しくもあった記憶もある。
そして、思い出せる限り、自分の答えを述べると
「ふ~ん、案外書けてるな、ひょっとしたら行けたかもな」
みたいなことを最後に仰った。
マグレだとは思うが、行けていた。

もう今から何十年も昔の話。
世田谷区立池之上小学校での話。

やはり私は、幸せな時代に生まれていたのだろうか。
あの小学校はどうしてなくなったのだろう。
あの小学校は今の小学校に比べて良くない所があったのだろうか。

テーマ : 小学校
ジャンル : 学校・教育

シナプスがバチバチ。

月並みな言葉かもしれないけれど、
指導は対話だ。
やり取りしていく課程で子供の知恵を働かせる。
問いかけをし、その答えを待つ間
私は子供のシナプスがバチバチ音を立てて
その子の脳がメキメキ活性化していくイメージを描きながら答えを待つ。
使われていなかった回路に通電していくイメージ。
なかなか電気が通らないとき
(答えがなかなか返ってこないとき)
私は別の問いをすることもあるが
たいていは同じ問いを繰り返す。
すると不思議なもので、ある瞬間、子供が
あっと気付くことがある。
同じ問いを繰り返しているだけなのに。

毎回こうだと苦労はないのだが、
回路がつながらないまま数分の時間が経ってしまうこともある。
かつては10分近く待ってやっと答えが出てきたこともあるが
限られた指導時間の中で、これだけ待つのは勇気がいる。
でも、子供の様子を見ていれば、回路をつなごうとしているか
諦めモードに入っているかは察しが付く。
(これがまさに個別指導のメリット。)
諦めモードに入った子には
別の問いかけで新たなアプローチへの意欲をかき立てる。
指導は対話。
いや、ひょっとすると、極意は「待つ」ことかもしれない。
私が待っているとき、子供のシナプスがバチバチ言い続ける。
これが私の指導の理想だ。

先日もある新6年生の授業時、
彼のシナプスは音を立てているようなのだが
最適のルートが見つからないらしく
堂々巡りの思案ループに陥ってしまった様子。
階差数列の問題。
解いていく課程で、
2+4+6+・・・・・と計算していって、
その和が100を超えるのがいくつまで足した時かをみつける必要が出てきた。
そこにたどり着くまでも大変だったのだが、
これをどう見つけるかで、また長考状態に入ってしまった。
仕方ない、新たなヒントだ。
2+4+6+・・・・・・+□=100を超える
の下に
1+2+3+・・・・・・+○=   を超える
と書いた。
まず、等号の右の空欄にいくつが入るかを考えさせた。
すぐにではなかったが、式の意図を見抜いて50という答えは返ってきた。
私は「その通り」「じゃ、また続きやって」と言って、待つ。
彼はすでに等差数列の和を求める公式は知っている。
10までの和が55というのもすぐ思い浮かべて欲しかったが、それはすぐ出てこなかった。
仕方ない。
「1から10までの和はいくつ?」と質問する。

こんな感じのやり取りが延々と続く。
結局、この日、15分近く終了が延びてしまったが、彼は正解に辿り着けなかった。
次の予定もあったので、
最後にもう一ヒントだして授業終了。
この問題の続きが宿題として出たのは言うまでもない。

その翌日、お母さんからメールが来た。
長いメールだったが、その一部に
「『先生はやっぱりすごいなぁ。書き出したらよくわかる』などと呟いて学習しています」とあった。
本当に分かったのかどうか、それは次回にノートを見てみないと何とも言えないが
少なくとも「書き出して」考えようとしてくれただけでも私は嬉しい。
家でも彼のシナプスがバチバチ言っているのだ。
これが私の究極の理想かもしれない。

テーマ : 子供の教育
ジャンル : 学校・教育

時間を長さにする。

2月6日の問題を解く際の、もう一つの大前提は
「時間を長さにして考える」ということだ。
これは次の問題でも有効。

桜蔭中学2008年入試問題3番

桜蔭の場合は、これを前提に、面積図にして考えることができる。
こちらの問題の場合は、もっと素朴に絵を描いて考える。
でも、どちらも「時間を長さとして考える」ということでは共通。

こういう説明は、参考書にはあまり載っていない。
そういう所が既存の参考書が不親切だと思う理由だ。
「予習シリーズ」や「栄冠への道」も同様。
この2冊はどちらも自習書ではない。
塾の「親への言い訳の為の書」だ。

しかし、算数の解き方は切り口が様々に作れるから
既存の書の内容が舌足らずに感じられるのも仕方ないのかもしれない。

さすがに名門中学の入試作問は、その辺りをうまく突いてくる。
それがこの2問に表れていると思う。

テーマ : 中学受験
ジャンル : 学校・教育

予習シリーズ

予習シリーズについて批判的な意見を述べたが
この問題集が定番であることに変わりはない。
アップルとマイクロソフト、どちらが優れているかということと
マックとウィンドウズのどちらが普及しているかということが
いわゆる比例関係でないのと同じだ。

実際、私の指導でも半数近くの生徒は予習シリーズを使っている。
日能研やサピックスには準拠塾というのはないが
四谷大塚には準拠塾がたくさんあるからだ。
直接シリーズを使わない塾でも、そのカリキュラムを援用する所は多い。
YTが使えるからだ。

どの保護者の方にも話すことだが
ゴールは一つ。
志望中学の入試問題だけだ。
そのことは、どの塾もどの出版社も承知している。
だから、どの問題集を使おうが
網羅されている内容は全体としてみれば大差ない。
その配列、解説の書き方などが異なるだけだ。
だから、個別指導や家庭教師で、先生が直接教えるのであれば
どの問題についても、その先生独自の解法があるから
実はどの問題集を使っても、それをきちんとやりきれば問題ないということになる。

「自由自在」など、市販のものでも多くの参考書がある。
東京出版の各種問題集も定番化している。
どれが良いかは一長一短というしかない。
これ1冊やれば完璧だ!
という問題集、参考書は、今のところ、私の判断では見あたらない。
だからこそ、どの問題集でも教材として活用できる。

なぜ、完璧でないのに活用できるのか。
完璧でない所を補っていく授業をすれば良いからだ。

いっそ、完璧な問題集を自分で作れば良いではないか
という人もいるかもしれないが、
志望校によっても、その生徒の現状によっても
使うべき問題、やるべき問題は変わってきて
これを一つで網羅しようと思うと大変な量になってしまう。

そこで、今のところは、希望を聞き、現状を見て
最適な教材を選んで使用している。
あるいは、そのご家庭に既にあるものを活用する。
使い方さえ誤らなければ、どんな教材も活かせる。
そこがプロ講師とアマチュア講師との違いだと思う。

生徒の現状、希望と
志望校の入試問題
これを結びつけるのがプロの家庭教師、塾講師の仕事。
その時使うものは何でもOKなのである。

テーマ : 算数・数学の学習
ジャンル : 学校・教育

考える力をどう育てるか。

私の指導のモットーは「?考える力を育てます!」だ。
「?」の気持ちを養い、頭を使わせて「!」に至らせる。
ただそれだけ。
結果として、受験にも立ち向かえるし、自己肯定の気持ちも養えると思っている。

自己肯定といったけれど、教育の根本は自己肯定だと思う。
自分というものを知り、深め、愛せるようにすること。
これを自己肯定と言っている。

では、考える力を育てるには具体的にどうやれば良いか。

例えば、高校生の英語では
必ず(電子辞書ではなく)紙の辞書を使わせる。
電子辞書はある程度の知識が出来た人が
実用的に何かを調べるのには打ってつけだけれど、
初学者には不向きだ。
なぜ不向きか。
一度に見られる範囲が狭いからだ。

辞書を引くとき、私は生徒に次の手順を踏ませる。
まず文章の流れから、引きたい単語をみつけさせる。
次にその品詞を考えさせる。
その為には構文の知識が必須なので、私は構文を徹底的に指導している。
構文は、暗記ではなく、感覚なので、英語が苦手だった子供もいやがらずに考える。
むしろ、そういう風にアプローチしていけば楽だったのかと喜ぶ子が多いように思う。

英語が相当苦手だった子が、高2の夏に、
どうしても推薦が欲しいので英語を指導して欲しいと
知人経由に来たことがあった。
指導を始めてみると、中学英語もおぼつかないところがあった。
まずやらせたことは、主語と動詞を見つけさせることだった。
次に主要部と修飾部を分けることをさせた。
すると意外と早く学校英語の成績も上がってきた。
まさに急がば回れだ。

さて、品詞を考えて辞書を引いた後で
実際に調べていくわけだが
ここで生徒に言うのは、例文を活用しろということ。
動詞なら他動詞か自動詞か
他動詞なら
SVOかSVOCかSVOOか
こうした説明は辞書に見やすく載っているが
それもチェックした上で、一番ふさわしいと思われる項目を見つけさせる。
みつかったら、例文を読ませる。
そこの例文と、自分の調べている文とを比較しろと言っている。
つまり、辞書を引くとは
様々なものを比較するということに尽きるような気がするのだ。
辞書の中だけでも色々な説明がある。
それを補完するための用例がある。
まずそれらの比較。
いや、一つの単語に、品詞まで複数であることすらある。
そうした、辞書内の比較には、電子辞書は甚だ不便だ。
だから、紙の辞書を使わせている。

このような学習をしていくと、生徒自身が
まず自分で推理することが大事なのだと分かってくる。
次にその検証を辞書で行うという形ができあがる。
これは一種のゲームのようなものだ。
だから、子供にとっても単なる苦痛の作業ではなくなる。
むしろ、自分の力量(ポイント)を上げるチャンスなのだ。

ただし、今言ったような使い方で辞書を使えているかということをチェックする必要がある。
つい安直な方にと流れるのが人間だ。
だから、それを端でチェックする存在が必要だと思う。
これをするのが個別指導、家庭教師の最大の仕事だと思っている。

こういう課程で考える力を育てることが出来る。

これは、算数の指導にも当てはめられる。
辞書ではなく、私と勉強したときのノートが調べの対象となるのが少し違うが。
そして、そのノートを作る段階でも、私と生徒とのキャッチボールで内容が深まっていく。
だから、生徒は安穏と受け手としてだけいることは出来ない。
マラソン選手が、実際に自分で走らないで実力を上げることが出来ないのと全く同じだ。

野口みずき選手の言葉を思い出す。
「走った距離は裏切らない。」
彼女は凄い距離を走ってきたのだろう。
だが、彼女だって、一人ではその距離を走りきれなかっただろう。
コーチがいて初めて効率よくその距離を走ってこられたのだと思う。
家庭教師、個別指導講師は、まさのこのコーチなのだ。
考える力を育てる為のコーチなのだ。
合格はその後に必ず付いてくると思う。

今度は王監督の現役時代の言葉を思い出した。
「練習さえしていればお金は後から付いてくる。」


テーマ : 子供の教育
ジャンル : 学校・教育

すぐれた問題。

中学入試で一番の楽しみは、生徒の合格の報告を聞くことだが、
個人的には、新しい問題との出会いにも捨てがたい魅力を感じる。

今年も素晴らしい問題に出会えた。
こういう問題を考えつく先生なら、授業も楽しいに違いない。
(ホント?)

あえて学校名は伏せよう。
何の先入観もなしに挑戦してみて欲しいから。

〔問題〕
A、B、Cの3人が、この順に観覧車に乗り、それぞれ1周しました。
この観覧車にはゴンドラが最も低くなるところで乗ります。
Aが乗ってから3分後にBが乗りました。
Bが乗ってから2分42秒後に、Aの乗ったゴンドラとBの乗ったゴンドラの地面からの高さが同じになりました。
Aの乗ったゴンドラとBの乗ったゴンドラの地面からの高さが同じになってから1分57秒後に、Bの乗ったゴンドラとCの乗ったゴンドラの地面からの高さが同じになりました。
Bの乗ったゴンドラとCの乗ったゴンドラの間には5つのゴンドラがありました。
(1)この観覧車が1周するのにかかる時間は何分何秒ですか。
(2)Cが乗ったのは、Bが乗ってから何秒後ですか。
(3)この観覧車には、全部でいくつのゴンドラがありますか。


この問題を解くのに必要な知識は次のようなものだ。
(ア)時間の計算が出来る。
(イ)観覧車に乗ったことがあり、ゴンドラという言葉が何を表すかが分かる。

以上の2つの知識があれば、特に「○○算を知らないと解けない」という問題ではない。
まさに、頭の体操のような問題だ。
絵を描き、具体的なイメージをつかんで推理していけば
ひょっとすると4年生や5年生でも解けるかもしれない。

先ほど、何の先入観も持たずに解いて欲しいと言った。
あえて、これ以上のヒントも出さないことにしよう。
頭の運動を思い切り楽しんでください。

テーマ : 中学受験
ジャンル : 学校・教育

個別指導の醍醐味

通塾生の指導については
これまで、私一人に、生徒が一人の1:1指導か
生徒が二人の2:1指導のスタイルで来た。
2:1の場合、学年(や教科)を異なる二人となるように配慮してきた。
なぜなら、同じ学年・教科で、やってることが全く違っていると
生徒同士、気まずい思いをするのではないかと思ったからだ。

ところが、今年、初めての試みで
2:1指導希望の小6二人を同じ時間にしてみた。
レベルが似ているのと、それぞれおっとりしたタイプで
一人だと何だかノホホンとしてしまう気がしたからだ。
そして二人とも指導希望の教材が同じだったから。
教材は予習シリーズ。
例題の解説はあまり良くないが
それを私が補うという形で、むしろ生徒への説得力が増すような気もする。
「いかに簡便に、合理的に解くか、
それが上位校受験の算数学習の鍵だ!」
と常々生徒に話している。

その二人が一緒に学ぶ、第一回目の授業が今日あった。
いつもは黙々と解く二人が、今日は声を上げ、食い入るように私の書いた図を見る。
二人の納得したのを確認し、
図をしまい、二人にノートにまとめさせる。
出来た者は、私がノートを確認して、OKだと次の問題に進む。
その様子がお互いの意識を刺激している気がした。
今日初めて出会った二人だが、最後にそれぞれを紹介し、
お互いが新6年であることを伝えた。
お互い、はにかみながら軽く会釈しあう。
帰路、どのような会話をしたか(しなかったか)不明だが
授業90分の中では切磋琢磨しあうことだろう。

この試みは成功すると思う。
二人とも小5でみっちり基本をたたき込まれ、
それをこれから、より応用的な問題で確認されていくのだ。
今日は予習シリーズの第2回だったので、水槽問題とつるかめ算の応用だった。

今日の指導のポイントは
(1)比を活用するといかに楽に解けるか。
また
(2)図の書き方を工夫すると、
実は水槽問題もつるかめ算も同じようなアプローチで解ける。
この2点を実感させることだった。

二人とも、その点については深い共感を示してくれた。
ただし、次回授業でどれだけ定着しているかをチェックする必要はあるが。

一人は、今週もう1回、1:1指導の授業を受けてくれる。
そう、彼は算数は私の指導だけで受験勉強を続けているのだ。

もう一人は、集団塾で授業を受けてくる。

それぞれが全く違う学習をしてくるのだが
週1回だけ、2:1授業で、同じテキストの同じ問題を学んでいくのだ。

一体どういう展開となるか。
二人の反応を見る限り、二人ともより積極的になっていたと感じた。
その二人の様子を見て、私自身がワクワクしている。

テーマ : 算数・数学の学習
ジャンル : 学校・教育

プロフィール

久保田塾・塾長

Author:久保田塾・塾長
東京都内、自宅にて個別指導、都内近県にて家庭教師をしています。
受験対策でも不登校児へのフォロー指導でも、私を頼る者全ての力になりたいと思っています。
でも、出来ない事は出来ないので、その時は、よりふさわしい先生をご紹介したり、次善の策がないかを模索したりします。
一番得意なのは中学受験の算数指導。「どんな問題でも解ける」という事より、「志望校に合格するにはどういう力を付ければ良いかを伝える」のが大事なのです。そのことを分かっていない保護者の方々、現役の塾講師、家庭教師の先生方があまりにも多い。
教育ネタが中心になると思いますが、趣味に走ったりもするかも。
前から興味のあったブログというのを始めて、ちょっとワクワクの「え~年のおっさん」です。
(2008年2月2日(先勝)・ブログ開始)

メニュー
リンク
ブログ内検索